Matematyka rat równych

Matematyka rat równych jest trochę trudniejsza niż matematyka rat malejących, dla osób zainteresowanych matematyką z tego powodu może być nawet ciekawsza.

Konstrukcja rat równych

Podobnie jak w konstrukcji rat malejących, w każdej racie mamy część kapitałową, czyli pewną część naszego długu, który powstał w wyniku zaciągnięcia kredytu lub pożyczki (potocznie zamiast słowa dług często używa się słowa kredyt, pożyczka albo kapitał), oraz odsetki od długu, przy czym odsetki są wyliczane od niespłaconego (w momencie płatności raty) długu. Przy czym raty kapitałowe są tak dobrane, że rosną (i tworzą pewien ciąg geometryczny, a tempo tego wzrostu zależy od oprocentowania), a raty odsetkowe maleją, bo są obliczane od niespłaconego (w momencie płatności raty) długu, a dług z każdą ratą jest mniejszy. Raty kapitałowe i odsetkowe są tak dobrane, że ich suma jest stała i stąd nazwa raty równej.

Założenia do wzorów

Niech $D$ będzie długiem, który powstał w wyniku zaciągnięcia kredytu (często zamiast długu posługujemy się terminami kapitał lub kredyt)¹. Niech $o$ oznacza oprocentowanie nominalne w skali roku, przy czym zakładamy, że oprocentowanie² $o$ jest większe niż $0$ (jeśli oprocentowanie jest równe zero, to wysokość raty jest równa kwocie kredytu podzielonej przez liczbę rat), zaś $n$ liczbę okresów (np. liczbę miesięcy), przez które będziemy spłacać dług kredytowy, jest to jednocześnie liczba rat.

Litera $k$ oznacza numer raty, będziemy również mieli $p$ i jest to wartość oprocentowania przeliczona na okres czasu pomiędzy dwiema kolejnymi ratami (dla spłat co miesiąc $p=\dfrac{o}{12}$, dla kwartalnych $p=\dfrac{o}{4}$, dla tygodniowych $p=\dfrac{7o}{365}$, dla dwutygodniowych $p=\dfrac{14o}{365}$; w dwóch ostatnich przypadkach, w roku przestępnym w mianowniku będziemy mieć liczbę $366$), przez $q$ będziemy rozumieli $1+p$. Przez $S_k$ rozumiemy dług, który pozostał po spłacie rat z numerami od $1$ do $k$, przy czym $S_0=D$, ten niespłacony dług często jest nazywany (aktualnym) saldem kredytu.

Wzory i ich odpowiedniki w arkuszach kalkulacyjnych

Wzory dotyczą sytuacji, w której rata jest płatna na koniec okresu (prawie wszystkie kredyty są w ten sposób spłacane). W arkuszach kalkulacyjnych wzory dla rat stałych zostały ujęte w funkcje arkuszowe, wykorzystując je można sobie znacznie ułatwić pracę. Funkcje działają na argumentach, których wartości należy wstawić do funkcji, bezpośrednio lub podając adres komórki, w której są przechowywane. Argumenty, które pojawiają się w większości takich funkcji to: opr, nrraty, liczbarat, kredyt (często z minusem, bo jest to związane z kierunkiem przepływów finansowych). Przy czym opr to oprocentowanie, które jest przeliczone na okres czasu między płatnościami dwóch kolejnych rat (czyli $p$), nrraty to numer raty, której dotyczy dane wyliczenie, czyli $k$, liczbarat to liczba rat, którymi będziemy spłacali dług ($n$), a kredyt to kwota długu (odpowiednik $D$). Rata równa $R$ wynosi:

lub (jeżeli nie chcemy używać wyrażenia $q$):

W arkuszach kalkulacyjnych Excel (w wersji 2013) i Open Office (wersja 4.1.7) do wyliczenia raty można wykorzystać funkcję PMT, przy czym zależy ona od 3 argumentów:

PMT(opr;liczbarat;-kredyt).

Część kapitałowa raty (albo: rata kapitałowa) z numerem $k$ jest równa:

W arkuszu Excel i Open Office do wyliczenia raty kapitałowej służy funkcja PPMT, która przyjmuje cztery argumenty:

PPMT(opr;nrraty;liczbarat;-kredyt)

Część odsetkowa raty z numerem $k$ jest równa:

część odsetkowa może być również obliczona jako oprocentowanie $p$ przemnożone przez niespłacony jeszcze kapitał. Do wyliczania wysokości odsetek (w racie z numerem nrraty) w Excelu i Open Office korzystamy z funkcji

IPMT(opr;nrraty;liczbarat;-kredyt)

Suma kapitału spłaconego w ratach z numerami od $k_1$ do $k_2$:

W szczególnym przypadku, jeśli $k_1=1$, to znaczy interesuje nas suma spłaconego kapitału od pierwszej raty do raty z numerem $k_2$, wzór redukuje się do postaci:

W arkuszach kalkulacyjnym Excel (2013) do wyliczenia kapitału spłaconego w ratach od $k_1$ do $k_2$ służy funkcja

-SPŁAC.KAPIT(opr;liczbarat;kredyt;nrratypocz;nrratykon;typ)

tym razem znak minus jest przed całą funkcją. Z kolei w arkuszu Open Office (wersja 4.1.7) korzystamy z:

-CUMPRINC(opr;liczbarat;kredyt;nrratypocz;nrratykon;typ)

Wartość nrratypocz to numer raty, od której zaczynamy sumowanie spłaconego kapitału (czyli $k_1$), nrratykon to numer raty, przy której kończymy sumowanie kapitału (czyli $k_2$), z kolei typ przyjmuje dwie wartości 0 lub 1, 0 oznacza płatność na koniec okresu (prawie wszystkie kredyty są udzielane w taki sposób, że płatność jest na koniec okresu), 1 płatność na początek okresu. Przydatna może być jeszcze możliwość sumowania zapłaconych odsetek w ratach z numerami od $k_1$ do $k_2$. Wzór na taką sumę wygląda tak:

jeśli $k_1=1$, to wzór redukuje się do postaci:

W Excelu korzystamy z:

-SPŁAC.ODS(opr;liczbarat;kredyt;nrratypocz;nrratykon;typ)

Funkcja, która służy do sumowania zapłaconych odsetek w ratach od numeru nrratypocz do nrratykon w arkuszach Open Office (wersja 4.1.7) to CUMIPMT, której używamy tak:

-CUMIPMT(opr;liczbarat;kredyt;nrratypocz;nrratykon;typ).

Wzór na liczbę miesięcznych rat w zależności od wysokości raty, kwoty kredytu oraz oprocentowania:

gdzie $\ln$ jest logarytmem naturalnym. W arkuszach kalkulacyjnych (zarówno Excel, jak i Open Office) do wyliczenia tej wielkości służy funkcja

NPER(opr;wysraty;-kredyt)

Argument wysraty to wysokość raty, jaką chcemy (i możemy) płacić. Jeszcze jedną kwestią jest obliczenie liczby złotówek do oddania za każdą pożyczoną złotówkę:

gdzie $I$ oznacza liczbę złotówek, które należy oddać za każdą pożyczoną złotówkę. Nie sprawdzałem dokładnie, jak wyglądają funkcje w arkuszach Google, ale przypuszczam, że wszystkie te funkcje działają dokładnie tak samo jak w Excelu.

Dowody wzorów

Rata równa

Wartość pieniądza zmienia się w czasie³, dlatego bank chce, żeby dług został spłacony ratami, które to uwzględniają. Pierwsza rata będzie miała wartość $\dfrac{R}{1+p}$, druga $\dfrac{R}{(1+p)^{2}}$, trzecia $\dfrac{R}{(1+p)^3}$ i tak dalej, aż do ostatniej równej $\dfrac{R}{(1+p)^n}$. Tak więc cały dług powinien być równy takiej sumie

Co możemy zapisać inaczej:

Jeżeli przyjmiemy oznaczenie $v=\frac{1}{1+p}$ oraz wyciągniemy $R$ przed znak sumy, to otrzymamy

Taką sumę łatwo policzymy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego⁴. W naszym przypadku mamy, że zarówno pierwszy wyraz, jak i iloraz jest równy $v$, tak więc otrzymujemy $D=R\dfrac{v(1-v^{n})}{1-v}$, a stąd mamy, że

Jeżeli teraz $v$ z powrotem zastąpimy przez $\dfrac{1}{1+p}$, to po przekształceniach otrzymamy

co dowodzi wzoru na ratę równą.

Rata odsetkowa, kapitałowa i saldo kredytu (dług)

Teraz wyprowadzimy wzory na:
część odsetkową raty (ratę odsetkową) z numerem $k$: $O_k$;
część kapitałową raty równej (ratę kapitałową) z numerem $k$: $K_{k}$;
oraz niespłacony dług po spłacie rat z numerami od $1$ do $k$ (saldo kredytu po spłacie rat od $1$ do $k$): $S_k$.
Na początek, ze wzoru $v=\dfrac{1}{p+1}$, wyliczymy $p$: $p=\dfrac{1}{v}-1=\dfrac{1-v}{v}$. Pierwsza rata odsetkowa to po prostu oprocentowanie $p$ pomnożone przez początkową kwotę długu (kredytu, kapitału) $D$, czyli $O_1=pD$, ale w tej formie ciężko będzie nam cokolwiek udowodnić, potrzebujemy, żeby $O_1$ była wyrażona przez $R$, skorzystamy z wcześniej wyprowadzonego wzoru $D=R\dfrac{v(1-v^{n})}{1-v}$, tak więc $O_1=pR\dfrac{v(1-v^{n})}{1-v}$ i teraz wstawiając za $p$ wartość $\dfrac{1-v}{v}$, otrzymamy $O_1=R(1- v^{n})$. Część kapitałowa $K_1$ to cała rata $R$ minus część odsetkowa $O_1=R(1- v^{n})$, czyli $K_1=R-R(1- v^{n})=Rv^{n}$. Niespłacony dług po spłacie pierwszej raty to dług minus część kapitałowa pierwszej raty, czyli $S_1=D-K_1$, korzystając ze wzoru, który łączy $D$ i $R$, tzn. $D=R\dfrac{v(1-v^{n})}{1-v}$, otrzymujemy $S_1=R\dfrac{v(1-v^{n})}{1-v} - Rv^{n}$, a to po przekształceniach jest równe $R\dfrac{v(1-v^{n-1})}{1-v}$ i teraz, korzystając z zależności $v=\dfrac{1}{p+1}$, mamy $\dfrac{v}{1-v}= \dfrac{1}{p}$, uwzględniając to, ostatecznie dostaniemy $S_1=R\dfrac{1-v^{n-1}}{p}$.

Policzmy teraz część odsetkową drugiej raty $O_2$, jest to po prostu oprocentowanie (uwzględniające czas, przez który jest naliczane) $p$ przemnożone przez dług, który pozostał do spłaty, czyli $S_1$, czyli $O_2=pS_1=R(1-v^{n-1})$, część kapitałowa drugiej raty $K_2$ to rata $R$ minus część odsetkowa $O_2$, czyli $K_2=R-R(1-v^{n-1})=Rv^{n-1}$, w końcu saldo $S_2=S_1-K_2=R\left(\dfrac{1-v^{n-1}}{p}\right) - Rv^{n-1}$, to po przekształceniach jest równe $R\dfrac{1-v^{n-1}(1+p)}{p}$, teraz uwzględniając, że $1+p=\dfrac{1}{v}$, dostajemy $S_2=R\dfrac{1-v^{n-2}}{p}$.

Jeżeli przypatrzymy się wzorom na $O_1$, $K_1$, $S_1$ i na $O_2$, $K_2$, $S_2$, to możemy postawić hipotezę, że $O_k=1-v^{n+1-k}$, $K_k=Rv^{n+1-k}$, $S_k=R\dfrac{1-v^{n-k}}{p}$. Ze sposobu wyliczania rat mamy:

Jeżeli w drugim wzorze podstawimy prawą stronę pierwszego oraz dopiszemy wzory dla $k=1$ (i $k=0$ dla długu), to otrzymamy:

Dostaliśmy parę wzorów rekurencyjnych, z których każdy zależy od drugiego. Teraz możemy indukcyjnie udowodnić, że

spełniają te rekurencyjne zależności. Bezpośrednio sprawdzamy, że wzory, które chcemy udowodnić, są równe wzorom rekurencyjnym dla $k=1$ (a w przypadku długu również dla $k=0$), więc pierwszy krok indukcyjny jest spełniony.

Naszym założeniem indukcyjnym będzie, że $K_k=Rv^{n+1-k}$, $S_k=R\dfrac{1-v^{n-k}}{p}$ spełniają zależności rekurencyjne dane przez wzory powyżej dla liczby naturalnej $k$. Możemy teraz wyliczyć $K_{k+1}$ (nie możemy wyliczyć $S_{k+1}$, bo zależy od $K_{k+1}$, a w założeniu indukcyjnym mamy prawdziwość wzorów tylko dla $k$): $K_{k+1}=R-pS_k=R-p \left(R\dfrac{1-v^{n-k}}{p}\right)$, i to po prostych przekształceniach jest równe $Rv^{n-k}$. Teraz, mając już wzór na $K_{k+1}$, możemy policzyć $S_{k+1}=S_k-K_{k+1}=R\left(\dfrac{1-v^{n-k}}{p}\right)-Rv^{n-k}$ i to po prostych przekształceniach jest równe $R\dfrac{1-v^{n-k}(1+p)}{p}$, a to jest równe $R\dfrac{1-v^{n-k-1}}{p}$. Tak więc udowodniliśmy, że powyższe wzory spełniają wzory rekurencyjne, które opisują konstrukcję rat równych, udowodniliśmy to dla każdego $k \in N$, w szczególności dla $k\in \{1,2,3, \cdots,n\}$. Mając udowodniony wzór na $S_{k-1}$, możemy policzyć

Teraz możemy wyrazić wzory na $K_k$ i $O_k$ za pomocą $p$ lub $q=p+1$. Przypomnijmy, że $v=\dfrac{1}{p+1}$, czyli używając $q$, dostaniemy $v=\dfrac{1}{q}$. Wiemy, że $K_k=Rv^{n+1-k}$, czyli

Wychodząc ze wzoru $O_k=R(1-v^{n-k+1})$, dostajemy $O_k=D q^{n}\left(\dfrac{q-1}{q^{n}-1}\right) \left(1-\left(\dfrac{1}{q}\right)^{n-k+1}\right)$, a to dalej jest równe $D q^{n}\left(\dfrac{q-1}{q^{n}-1}\right) (1-{q}^{k-n-1})$, mnożąc teraz $q^{n}$ przez każdy wyraz w nawiasie, dostajemy

Spłacony kapitał

Sumę spłaconego kapitału w ratach od $k_1$ do $k_2$ wyliczymy, sumując kolejne raty kapitałowe od $k_1$ do $k_2$. Wyliczmy, ile jest tych rat: od liczby $k_2$ odejmujemy wszystkie liczby, które są mniejsze od $k_1$, a jest ich $k_{1}-1$, tak więc tych rat jest $k_2-(k_{1}-1)=k_2-k_{1}+1$. W każdej racie kapitałowej mamy składnik, który nie zależy od $k$, tzn. $D \dfrac{q-1}{q^{n}-1}$, tych składników jest $k_2-k_{1}+1$, oraz składnik zależący od $k$: $q^{k-1}$, zsumujmy te ostatnie: $q^{k_{1}-1}+\cdots+q^{k_{2}-1}$, tu też mamy ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie $q^{k_{1}-1}$ i ilorazie równym $q$ (mamy kolejne raty, każda kolejna potęga jest przemnożeniem bieżącej przez $q$). Tak więc nasza suma $q^{k_{1}-1}\left(\dfrac{1-q^{k_{2}-k_{1}+1}}{1-q}\right)=\dfrac{q^{k_{1}-1}-q^{k_{2}}}{1-q}$. Do naliczenia całej sumy spłaconego kapitału wyciągamy czynnik niezależny od $k$ przed nawias, a w nawiasie mamy sumę, którą policzyliśmy przed chwilą, tak więc:

Tu skorzystaliśmy z tego, że $1-q=-(q-1)$ i po skróceniu czynnika $(q-1)$, minus który pozostał wskoczył do licznika.

Spłacone odsetki

Sumę spłaconych odsetek w ratach od $k_1$ do $k_2$ znajdziemy w podobny sposób. Popatrzmy na wzór na ratę odsetkową: $D \left(\dfrac{q-1}{q^{n}-1}\right) (q^{n}-q^{k-1})$. W każdej racie odsetkowej składnikiem, który nie zależy od $k$, jest $D \dfrac{q-1}{q^{n}-1}$, to wyrażenie wyciągamy przed nawias, a w nawiasie mamy sumę takich składników $q^{n} - q^{k_{1}-1}+\cdots+q^{n} - q^{k_{2}-1}$, w tym wyrażeniu mamy $k_2-k_1+1$ wyrażeń $q^{n}$ oraz wyrażenie $-q^{k_{1}-1}-\cdots-q^{k_{2}-1}$, to ostatnie już liczyliśmy przy okazji sumowania rat kapitałowych, tyle że było ze znakiem plus, tak więc to wyrażenie w tym przypadku jest równe: $\dfrac{q^{k_{1}-1}-q^{k_{2}}}{1-q}$. Tak więc całość będzie równa

Liczba rat i ilość złotówek za każdą pożyczoną złotówkę

Liczbę rat, gdy mamy oprocentowanie $p$ (ale będziemy używać $q=p+1$), wysokość kredytu $D$ i wiemy, jak wysoką chcemy płacić ratę $R$, wyliczymy ze wzoru $R=D q^{n}\left(\dfrac{q-1}{q^{n}-1}\right)$. Mnożąc przez mianownik ułamka obie strony, dostajemy $R(q^{n}-1)=D q^{n}({q-1})$, po wymnożeniu lewej strony mamy $Rq^{n}-R=D q^{n}({q-1})$, teraz przeniesiemy na drugą stronę wszystko z wyjątkiem pierwszego wyrazu $Rq^{n}-D q^{n}({q-1})=R$, teraz możemy wyciągnąć przed nawias $q^{n}$ i dostajemy $q^{n}(R-D(q-1))=R$, stąd $q^{n}=\dfrac{R}{R-D(q-1)}$ i teraz logarytmując obie strony, dostajemy $n\ln(q)=\ln \left(\dfrac{R}{R-D(q-1)}\right)$, a stąd otrzymujemy $n=\dfrac{\ln \left(\dfrac{R}{R-D(q-1)}\right)}{\ln(q)}=\dfrac{\ln \left(\dfrac{R}{R-Dp}\right)}{\ln(q)}$. Liczba (ewentualnie ilość) złotówek do oddania za każdą pożyczoną złotówkę to po prostu $\dfrac{Rn}{D}=n\cdot q^{n}\left(\dfrac{q-1}{q^{n}-1}\right)$.

Edycja 13.08.2026

Przypisy