Matematyka rat malejących

Na blogu będę poruszał sporo kwestii związanych z matematyką kredytu. Dziś omówię matematykę rat malejących.

Ogólna konstrukcja rat kredytowych

W dzisiejszych czasach praktycznie każdy kredyt czy pożyczkę spłaca się w ten sposób, że w każdej racie mamy część kapitałową, czyli pewną część naszego długu, który powstał w wyniku zaciągnięcia kredytu lub pożyczki (potocznie zamiast słowa dług często używa się słowa kredyt, pożyczka albo kapitał) oraz odsetki od długu, przy czym odsetki są wyliczane od niespłaconego (w momencie płatności raty) długu. Nie są to jedyne konstrukcje, bo mamy jeszcze np. raty rosnące, gdzie odsetki wylicza się inaczej, ale te konstrukcje w praktyce są nieużywane.

Konstrukcja rat malejących

Raty malejące powstają w ten sposób, że całą kwotę kredytu dzielimy przez liczbę rat — w ten sposób obliczymy, ile będziemy spłacać kapitału w każdej z rat. Odsetki obliczamy w ten sposób, że oprocentowanie kredytu mnożymy przez niespłacony jeszcze dług, przy czym zawsze uwzględniamy czas pomiędzy dwiema kolejnymi płatnościami rat i dlatego przeliczamy oprocentowanie, które podawane jest w skali roku, tak aby uwzględniało ten właśnie czas. Najczęściej sytuacja wygląda tak, że raty płacimy co miesiąc, a więc oprocentowanie dzielimy przez 12 i takie oprocentowanie mnożymy przez niespłacony dług. Część kapitałowa raty w każdej z rat jest stała, natomiast część odsetkowa zmniejsza się, bo niespłacony kapitał zmniejsza się z każdą zapłaconą ratą, tak więc cała rata również się zmniejsza i stąd nazwa raty malejącej. Zaletą rat malejących jest to, że całkowita kwota do zapłaty jest niższa niż dla rat równych (dla takiego samego oprocentowania, kwoty kredytu, liczby rat, itp.). Wadą jest to, że pierwsze raty są wyższe i przez to możemy nie dostać kredytu, ponieważ pierwsza rata jest wyższa niż przy kredycie z ratami równymi. Banki, jeżeli staramy się o kredyt z ratami malejącymi, porównują maksymalną wysokość raty, jaką możemy płacić, właśnie do pierwszej raty. Problem wyboru pomiędzy ratami równymi i malejącymi będzie jeszcze na blogu poruszony (przynajmniej taką mam nadzieję). Tymczasem wyprowadźmy sobie wzory na ratę kapitałową, odsetkową i całą ratę malejącą.

Założenia do wzorów

Niech $D$ będzie długiem, który powstał w wyniku zaciągnięcia kredytu (często zamiast długu posługujemy się nazwami kapitał lub kredyt)¹. Symbol $o$ oznacza oprocentowanie nominalne dla okresu (w skali) roku, zaś $n$ liczbę okresów (np. liczbę miesięcy), przez które będziemy spłacać kredyt — jest to jednocześnie liczba rat. Litera $k$ oznacza numer raty, będziemy również mieli $p$ i jest to wartość oprocentowania przeliczona na okres czasu pomiędzy dwiema kolejnymi ratami (dla spłat co miesiąc $p=\dfrac{o}{12}$ , dla kwartalnych $p=\dfrac{o}{4}$ , dla tygodniowych $p=\dfrac{7o}{365}$ , dla dwutygodniowych $p=\dfrac{14o}{365}$ ; w dwóch ostatnich przypadkach, w roku przestępnym w mianowniku będziemy mieć liczbę $366$ ). Przez $S_k$ rozumiemy dług, który pozostał po spłacie rat z numerami od $1$ do $k$ , przy czym $S_0=D$ — ten niespłacony dług często jest nazywany (aktualnym) saldem kredytu.

Wyprowadzenie podstawowych wzorów dla raty malejącej

Zgodnie z tym, w jaki sposób raty malejące są konstruowane, wiemy, że każda rata kapitałowa (którą można nazwać częścią kapitałową raty) jest równa kapitałowi podzielonemu przez liczbę rat, czyli $K_k=\dfrac{D}{n}$ .

Obliczmy teraz ratę odsetkową (albo część odsetkową raty malejącej) — ta część zmienia się w kolejnych ratach, tak więc zależy od numeru raty $k$ . Ratę odsetkową (z numerem $k$ ) liczymy od niespłaconego długu, który pozostał po spłacie rat z numerami od $1$ do $k-1$ . Ten niespłacony dług to cały dług pomniejszony o $k-1$ rat kapitałowych, z których każda jest równa $\dfrac{D}{n}$ . Tak więc, ujmując to w formie wzoru, możemy napisać, że niespłacony dług to

S_{k-1}=D-\frac{D}{n}(k-1)

a po przekształceniach

\frac{D n}{n}-\frac{D}{n}(k-1)=\frac{D}{n}(n - (k-1))=\frac{D}{n}(n - k + 1)

Teraz wystarczy pomnożyć to przez oprocentowanie (które jest przeliczone na okres pomiędzy dwiema kolejnymi płatnościami raty) i otrzymujemy wzór na ratę odsetkową z numerem $k$ :

O_k=\frac{D}{n}(n-k+1)p

Mając wyliczoną ratę odsetkową i ratę kapitałową, możemy wyliczyć całą ratę, która jest równa ich sumie:

R_{k}=\frac{D}{n}+\frac{D}{n}(n-k+1)p=\frac{D}{n}(1+(n-k+1) p)

Stąd wynika, na przykład, że rata z numerem $1$ (pierwsza rata) jest równa:

R_{1}=\frac{D}{n}(1+(n-1+1) p)=\frac{D}{n}(1+np)

Jeszcze kilka wniosków z tych wzorów

Suma kapitału spłaconego w ratach z numerami od $k_1$ do $k_2$ :

S_{k1,k2}^{kap}=\frac{D}{n}(k_2-k_1+1)=\frac{D(k_2-k_1+1)}{n}

W szczególnym przypadku, jeśli $k_1=1$ — to znaczy interesuje nas suma spłaconego kapitału od pierwszej raty do raty z numerem $k_2$ — wzór redukuje się do postaci:

S_{1,k2}^{kap}=\frac{D}{n}k_2=\frac{Dk_2}{n}

Bez dokładnych dowodów podam jeszcze kilka wzorów, które wynikają z powyższych. Suma zapłaconych odsetek w ratach z numerami od $k_1$ do $k_2$ ²:

S_{k1,k2}^{ods}=\frac{Dp}{n}\left(\frac{2n+2-k_1-k_2}{2}\right)(k_2-k_1+1)

jeśli $k_1=1$ — to znaczy interesuje nas suma spłaconych odsetek od pierwszej raty do raty z numerem $k_2$ — wzór redukuje się do postaci:

S_{1,k2}^{ods}=\frac{Dp}{n}\left(\frac{2n+1-k_2}{2}\right)(k_2)=\frac{Dpk_2}{n}\left(\frac{2n+1-k_2}{2}\right)

Podam jeszcze wzór na liczbę rat w zależności od wysokości pierwszej raty (jaką możemy i chcemy płacić — $R_1$ ), kwoty kredytu lub pożyczki ( $D$ ) oraz oprocentowania ( $p$ ):

n=\frac{D}{R_{1}-Dp}

Jeżeli $I$ oznacza liczbę złotówek, które należy oddać za każdą pożyczoną złotówkę, to

I=1+p\left(\frac{n+1}{2}\right)

Edycja 13.08.2026

Przypisy

Jest to kwota wypłacona lub kwota, od której liczone są odsetki, często banki liczą odsetki od kwoty, która jest wypłacona i powiększona o opłaty, które są kredytowane, banki czasami nazywają tę wartość kredytem brutto. Wiem co najmniej o dwóch sądach, które uznały taką praktykę za nielegalną (ale przypuszczalnie było ich o wiele więcej) — sądy orzekły, że jest to nieprawidłowe ze względu na definicję stopy oprocentowania kredytu z art. 5 punkt 10 Ustawy o kredycie konsumenckim, która stwierdza, że odsetki należy liczyć od kwoty wypłaconej. Szczególnym przypadkiem tego zjawiska jest sytuacja, gdzie banki w całkowitej kwocie kredytu chętnie widziałyby np. prowizję, więcej: Mierzenie kosztu kredytu ↩
W dowodzie tego faktu pomocne będzie poznanie sposobu sumowania liczb młodego Gaussa. Mały Carl Gauss dostał za zadanie wyliczenia sumy liczb od $1$ do $100$ . Zauważył, że $1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98$ itd., każda z tych sum jest równa $101$ , a jest ich $50$ , tak więc cała suma jest równa $50 \cdot 101 = 5050$ . Metodę tę można zaadaptować do każdego ciągu arytmetycznego, a kolejne raty malejące tworzą właśnie ciąg arytmetyczny, ponieważ każda kolejna rata jest mniejsza o stałą wartość $\dfrac{Dp}{n}$ . ↩